Exponentes y radicales


Potenciación

Tomado de Wikipedia

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. 


Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:
  • Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.
a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,
Por ejemplo:  2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 .
  • Cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.
a^{-p}= \frac{1}{a^p}
  • Cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:
a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}
Cualquier número elevado al exponente 0 el resultado equivale a 1, excepto el caso particular de 0^0\, que, en principio, no está definido (ver cero).
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Propiedades de los exponentes



Potencia de exponente 0

Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:
1 = \frac {a^n} {a^n} = a^{n-n} = a^0\,

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:
b^1 = b \,
Ejemplo:
54^1=54 \,

Potencia de exponente negativo

Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:
a^{-n} = a^{0-n} = \frac {a^0}{a^n} = \frac {1}{a^n}\,

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:
a^m \cdot a^n = a^{m + n}
Ejemplos:
9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5

División de potencias de igual base

El cociente de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente el resultado de restar el exponente del divisor al del dividendo, es decir:
\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}
Ejemplo:
\frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:
(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
{(a^m)}^n = a^{m \cdot n}
Debido a esto, la notación a^{b^c} se reserva para significar a^{(b^c)} ya que {(a^b)}^c se puede escribir sencillamente como a^{bc}\,.

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.
\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}


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Radicación



En matemática, la radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que \scriptstyle b^n = a, donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:
y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}.
Para todo n natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:
a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}.

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Como se indica con la igualdad y = \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}, la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.
Ejemplo

\sqrt[4]{x^3} = \ x^{3/4}.


Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.
\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}
con n distinto de cero (0).
Ejemplo
  • \sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^4} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3\cdot 4 = 12.
Se llega a igual resultado de la siguiente manera:
\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12.


Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
con n distinto de cero (0).
Ejemplo
  • \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}.
Cuando esta propiedad se aplica a números, no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.
Ejemplos
  • \sqrt[3]{\frac{x^3}{y^9}} = \frac{x^{3/3}}{y^{9/3}} = \frac{x}{y^3}.
  • (\sqrt[4]{a^2})^8 = (\ a^{2/4})^8 = \sqrt[4]{a^{16}}.


Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.
\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}.
con n y m distintos de cero (0).
Ejemplo
  • \sqrt[9]{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[27]{5}.

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